Das Medizinstudium in Innsbruck schloss Prof. Drexel 1976 mit Promotion sub auspiciis praesidentis rei publicae ab. Anschließend folgten Facharztausbildung an der Universitätsklinik für Innere Medizin in Innsbruck (Vorstand Prof. Dr. H. Braunsteiner), sowie eine Zusatzfacharztausbildung für Kardiologie, Endokrinologie und Stoffwechselerkrankungen sowie Angiologie. 1988 wurde ihm die Venia legendi (Univ.-Doz. für Innere Medizin) an der Universität Innsbruck verliehen, 1994 folgte eine Titularprofessur für Innere Medizin an der Universität Innsbruck (tit. A.o. Univ.-Prof.). Von 1990 bis 1993 dozierte er am Universitätsspital Zürich in der Abteilung für Kardiologie (Vorstand Prof. Dr. F. W. Ammann) der Medizinischen Klinik (Vorstand Univ.-Prof. Dr. F. Follath). 1992, 1994, 1996 und 2002 folgten Forschungsaufenthalte am St. Elisabeth Medical Centre der Tufts University in Boston, MA,USA.
Von 1994 bis 2017 war er Abteilungsleiter der Abteilung für Innere Medizin am LKH Feldkirch. 1997 gründet er das VIVIT Forschungsinstitut am LKH Feldkirch und ist seit dem Geschäftsführer des Institutes. Seit 01. Dezember leitet Prof. Drexel als Primar die Abteilung für Innere Medizin am LKH Bregenz.
Zahlreiche Publikationen in weltweit führenden Zeitschriften (New England Journal of Medicine, The Lancet, Circulation, Diabetes Care, Diabetologia, Atherosclerosis, American Heart Journal, American Journal of Cardiology, Pain, etc.) und ausgiebige Reviewer-Tätigkeiten für Diabetes Care, Diabetologia, European Heart Jorunal, etc. zeugen von seiner intensiven Publikationstätigkeit und seiner wissenschaftlicher Qualifikation.
Prof. Drexel ist des weiteren Mitglied in nationalen und internationalen Advisory Boards. Seine medizinische Schwerpunkte sind die Inneren Medizin, seine Forschungsschwerpunkte Herz- und Gefäßerkrankungen, Diabetes, Fettstoffwechsel, Cholesterin und Schmerzforschung. Seinem Lehrauftrag für Innere Medizin im Rahmen des akademischen Lehrkrankenhauses Feldkirch der Medizinischen Universität Innsbruck geht er mit regelmäßigen Vorlesungen über Innere Medizin und Pharmakologie nach. Von 2004 bis 2006 war er Ärztlicher Leiter des LKH-Feldkirch und von 2012 bis 2013 Präsident der österreichischen Diabetesgesellschaft (ÖDG).
Von 2005 bis 2020 war Prof. Drexel Studienleiter des Doktoratsstudium Medizinische Wissenschaft (Dr. scient. med.) an der Privaten Universität im Fürstentum Liechtenstein.
Prof. Drexel ist aktives Mitglied der Wissenschaftskommission des Landes Vorarlberg und wurde international mit Fellowships der Europäischen Gesellschaft für Kardiologie (FESC), der Amerikanischen Herzgesellschaft (FAHA) und des Royal College of Physicians Edinburgh (FRCP Ed.) gewürdigt.